Авторы О.Д. Самарин, доцент, канд. техн. наук, К.М. Мжачих, аспирант (МГСУ)

Для того, чтобы определить характер поведения системы автоматического управления (САУ) при возмущающих воздействиях, как правило, можно ограничиться построением переходной функции системы W сист , описывающей реакцию САУ на единичное ступенчатое воздействие [1]. Переходную функцию можно построить, воспользовавшись математической моделью системы или передаточной функцией.

Разработку математической модели переходных процессов в наиболее простом варианте начнем с описания процессов, происходящих в приточной вентиляционной системе, обслуживающей некоторое помещение. Теплообменник регулируется по сигналу от датчика температуры воздуха, находящегося в этом помещении и реагирующего на ее отклонение от заданной уставки. Следовательно, контур регулирования является замкнутым. При этом предусматривается качественнокачественный способ регулирования, т.е. колебания теплопоступлений и теплопотерь в помещении устраняются за счет изменения температуры приточного воздуха при постоянном его расходе. В свою очередь, температура притока изменяется вследствие подмешивания того или иного количества охлажденной воды из обратного трубопровода через трехходовой клапан к горячей воде, поступающей в теплообменник, также при постоянном общем ее расходе.

На pис. 1 представлена функциональная схема автоматизации приточной системы.

Структурная схема САУ для системы обеспечения микроклимата в помещении представлена на pис. 2 . При ее построении учтено, что в силу принятого способа регулирования входным параметром для помещения, выбранного в качестве объекта регулирования, являются переменные теплопоступления или теплопотери Q , Вт, а выходным — температура воздуха в помещении t в , °С. Собственно САУ вместе с системой вентиляции в этом случае играют роль отрицательной обратной связи для помещения по каналу « Q — t в ». Такая схема была предложена авторами ранее в работе [2].

Здесь W рег — передаточная функция регулятора;

W ио — передаточная функция исполнительного органа. В данном случае исполнительным органом является трехходовой кран с электроприводом.

W ТО — передаточная функция теплообменника, то есть воздухонагревателя;

W П — передаточная функция помещения.

W д — передаточная функция датчика.

Символы U 1 ... U 6 обозначают сигналы после промежуточных звеньев системы.

Тогда математическая модель переходного процесса в САУ будет иметь вид [1]:

В соответствии с ранее данным определением и схемой САУ, приведенной на pис. 2 , по физическому смыслу W сист здесь представляет изменение температуры t в с течением времени при единичном тепловом воздействии, т.е. при Q = 1 Вт.

Следовательно, размерность W сист должна быть [К/Вт]. Тогда передаточная функция САУ при использовании П-регулятора в линейном варианте будет выглядеть следующим образом:

где а 1 … а 7 — коэффициенты, получающиеся при подстановке в (1) переда точных функций элементов САУ с учетом их коэффициентов передачи и постоянных времени,

р — некоторый комплексный параметр,имеющий размерность с -1 .

Выражение (2) представляет переходный процесс в виде изображения, получаемого из переходной функцииоригинала с помощью интегрального преобразования Лапласа. Для того чтобы по изображению восстановить исходную переходную функцию САУ, необходимо воспользоваться методом обратного преобразования Лапласа. Иначе этот метод называется интегральным преобразованием Карсона [3]. Однако в большинстве случаев, кроме самых элементарных, для этого необходимы численные методы, требующие применения ЭВМ и достаточно серьезного программного обеспечения.

Поэтому можно попытаться получить значение оригинала переходной функции, используя приближенное аналитическое моделирование. Его сущность заключается в формальной замене оператора p на 1/ ô , где ô — время с момента воздействия на систему, с. Такая замена базируется на соображениях, вытекающих из анализа размерностей. Как показывают расчеты на простейших примерах, данный прием позволяет достаточно точно определить характер поведения переходной функции, применяя несложный математический аппарат. Погрешность вычисления максимального отклонения при этом не превышает 15...20%, что вполне достаточно для инженерных расчетов.

Используя рассмотренный метод, можно легко решить основную задачу проектирования САУ — подобрать коэффициент передачи регулятора. Для этого нужно вычислить допустимую относительную динамическую ошибку регулирования ä , К/Вт, равную допустимому отклонению температуры Ä t в ,

деленному на величину теплового воздействия на помещение Q . Сравнивая полученный результат с максимальным значением переходной функции W max , найденным с использованием того или иного коэффициента передачи К рег , делаем вывод о пригодности принятого регулятора для рассматриваемой системы, если W max ≤ ä . Поскольку в развернутом выражении передаточной функции типа (2) единственным неизвестным является именно К рег , задача имеет однозначное решение. Его легко найти построением приближенного графика оригинала переходной функции, получаемого заменой оператора p на 1/ ô , с помощью, например, электронных таблиц EXCEL, и добиваясь за счет подбора величины К рег выполнения неравенства W max ≤ ä .

Однако представляет интерес исследование вопроса о влиянии динамических свойств обслуживаемого помещения на характер переходного процесса и, соответственно, на требуемое значение К рег . На pис.3 и pис.4 показаны графики переходных функций для однократного теплового воздействия, полученные расчетом по упрощенному методу для разных К рег в трех вариантах. Черными линиями изображены зависимости для простейшего приближения, когда помещение рассматривается как линейное инерционное звено 1-го порядка. Красные линии характеризуют развитие переходного процесса с учетом так называемой объемной нелинейности, или, точнее говоря, того обстоятельства, что в начальный период времени помещение можно описать как интегрирующее звено с передаточной функцией:

W пом ( р ) = К нач / р , где К нач = 1/( V . c . ñ) .

Здесь V — объем помещения,м 3 ; c , Дж/(кг_К), и ñ , кг/м 3 — соответственно удельная теплоемкость и плотность внутреннего воздуха.

Синие линии демонстрируют поведение переходной функции для другого приближения, учитывающего поверхностную нелинейность, связанную с процессом распространения температурной волны в толще материальных слоев ограждающих конструкций, обращенных в помещение. В этом случае помещение можно аппроксимировать «полуинтегрирующим» звеном с передаточной функцией вида:

W пом ( р ) = 0,886 . К огр / р 3/2 ,

потому что скорость начального прогрева ограждений пропорциональна ô 1/2 [3].

Здесь 0,886 — значение специальной гамма-функции для аргумента, равного 3/2, а коэффициент К огр определяется через площади поверхностей и их показатели теплоусвоения Y , Вт/(м 2 . К), вычисляемые в соответствии с [4].

Сравнивая поведение кривых на pис. 3 и pис. 4 , можно обнаружить, что учет нелинейности, связанной с акку муляцией теплоты в объеме воздуха, заключенного в помещении, не приводит к существенному изменению характера переходной функции. Однако скорость повышения или понижения температуры и ее конечное отклонение при этом увеличивается, причем вне зависимости от коэффициента передачи регулятора. Формально здесь дело обстоит так, как будто бы действующий или эффективный коэффициент передачи регулятора оказывается меньше номинального. Тем не менее, конечное отклонение при расчете с использованием данного варианта нас мало интересует, поскольку при больших интервалах времени с момента теплового воздействия такое приближение будет уже несправедливым. Зато время регулирования в силу тех же обстоятельств при учете объемной теплоаккумуляции сокращается, и мы быстрее достигаем конечных параметров процесса при одном и том же значении К рег .

В то же время учет нелинейности, связанной с аккумуляцией теплоты в поверхностных слоях ограждений помещения, приводит к заметному искажению формы получаемого графика, а именно к ускоренному приращению в первые моменты времени, пока температурная волна еще не распространилась глубоко в толщу конструкций, и резкому замедлению в последующий период. Причем при более высоких коэффициентах передачи регулятора ( pис. 4 ) возможно даже некоторое снижение отклонения температуры за счет того, что суммарное поглощение теплоты ограждениями и системой вентиляции становится больше, чем тепловое воздействие на помещение. Конечное значение отклонения при этом также уменьшается по сравнению с линейным вариантом, поэтому учет поверхностной нелинейности дает возможность уменьшить требуемое значение К рег .

Теперь нужно еще отметить, что объемная аккумуляция теплоты основную роль играет в начальный момент времени, а поверхностная — в более отдаленные. И тогда можно прийти к выводу, что действительный переходный процесс является промежуточным между вариантами с объемной и поверхностной нелинейностью.Поэтому скорость нарастания отклонения температуры и соответственно требуемое и фактическое время регулирования должны определяться, исходя из предположения, что помещение является интегрирующим звеном, а конечное отклонение и коэффициент передачи регулятора — с учетом распространения температурной волны.

Таким образом, мы получили приближенную методику построения переходной функции САУ с учетом нелинейных свойств обслуживаемого помещения как звена контура регулирования. Данная методика имеет достаточно простой вид и при дальнейшем развитии позволяет разработать инженерные рекомендации по подбору регуляторов для систем обеспечения микроклимата, включающие в себя все основные факторы, влияющие на переходные процессы, и доступные для использования в практике массового проектирования. ■

Литература

1. Автоматика и автоматизация систем теплогазоснабжения и вентиляции. / Под ред. В.Н. Богословского. — М.: Стройиздат, 1986. — 479 с.

2. О совершенствовании автоматического регулирования систем обеспечения микроклимата. // С.О.К. — 2005. — № 5. — с. 112-114.

3. Н.М. Беляев, А.А. Рядно. Методы теории теплопроводности. Ч.2. — М.: Высшая школа, 1982. — 304 с.

4. СП 23-101-2004 «Проектирование тепловой защиты зданий». — М: ГУП ЦПП, 2004.